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5.3简化操作
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前言
既然sympy是对于符号的运算，那么它对于符号表达式的简化与展开一定很强大。
今天我们学习的是符号表达式的简化与展开。
本章节对应官网的Simplification
（一）有理数与多项式的简化
1.最简化-simplify（）
（1）说明：
simplify（）是尽可能的让表达式最简化，其最简化的形式是不定的。
（2）源代码：
from sympy import *x = Symbol('x')expr1 = cos(x)**2+sin(x)**2expr2 = (x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1)# 简化表达式r1 = simplify(expr1)r2 = simplify(expr2)print(r1)print(r2) （3）输出：
\(cos(x)^2+sin(x)^2\)-->1
\((x^3 + x^2 - x - 1)/(x^2 + 2x + 1)\)-->\(x-1\)
2.展开-expand（）
（1）说明：
expand（）是对括号里的多项式进行展开。
（2）源代码：
from sympy import *x = Symbol('x')expr1 = (x+1)**2expr2 = ((x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x)# 展开r1 = expand(expr1)r2 = expand(expr2)print(r1)print(r2) （3）输出：
\((x+1)^2\)-->\(x^2+2x+1\)
\((x + 1)(x - 2) - (x - 1)x\)-->-2
3.提公因式-factor（）
（1）说明：
factor（）是对展开的多项式进行提公因式
（2）源代码：
from sympy import *x = Symbol('x')expr1 = (x ** 3 - x ** 2 + x - 1)# 提公因数r1 = factor(expr1)print(r1)print(latex(expr1))print(latex(r1)) （3）输出：
\(x^{3} - x^{2} + x - 1\)-->\(\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)\)
4.合并同类项-ceiling（）
（1）说明：
对于多项式进行合并同类项
（2）源代码：
from sympy import *x = Symbol('x')y = Symbol('y')z = Symbol('z')expr1 = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3expr2 = x**3+x*2-3*x**2+x**3-x**2+x*4-5# 合并同类项r1 = ceiling(expr1)r2 = ceiling(expr2)print(r1)print(r2)print(latex(r1))print(latex(r2)) （3）输出：
\(xy + x - 3 + 2x^2 - zx^2 + x^3\) --> \(\lceil{x^{3} - x^{2} z + 2 x^{2} + x y + x}\rceil - 3\)
\(x^3+x2-3x^2+x^3-x^2+x4-5\) --> \(\lceil{2 x^{3} - 4 x^{2} + 6 x}\rceil - 5\)
5.简化分式-cancel（）
（1）说明：
cancle既有约分又有简化的作用
（2）源代码：
from sympy import *x = Symbol('x')expr1 = (x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x)expr2 = 1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4)# 约分消去分式的公因数r1 = cancel(expr1)# 简化分式r2 = cancel(expr2)# 结果print("结果:r1", r1)print("结果:r2", r2)# r1的表达式与结果print("r1的表达式与结果:")print(latex((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x)))print(latex(r1))# r2的表达式与结果print("\nr2的表达式与结果:")print(latex(1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4)))print(latex(r2)) （3）输出：
\(\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x}\) --》 \(\frac{x + 1}{x}\)
\(\frac{\frac{3 x}{2} - 2}{x - 4} + \frac{1}{x}\) --》 \(\frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{2 x^{2} - 8 x}\)
6.分式展开-apart（）
（1）说明：
原本只有一项的分式表达式，展开为多项的分式表达式。
（2）源代码：
from sympy import *x = Symbol('x')expr1 = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)# 对于分式进行展开r1 = apart(expr1)print(r1)print(latex(r1))print(latex(expr1)) （3）输出：
\[ \frac{4x^3 + 21x^2 + 10x + 12}{x^4 + 5x^3 + 5x^2 + 4x} \]
---》
\[ \frac{2 x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{x + 4} + \frac{3}{x} \]
（二）三角函数的简化
1.三角形的简化-trigsimp（）
（１）说明：
使用trigsimp（）可以简化三角函数，反三角函数也可以。
（２）源代码：
from sympy import *x = Symbol('x')expr1 = sin(x)**2+cos(x)**2expr2 = sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4# 进行三角形简化r1 = trigsimp(expr1)r2 = trigsimp(expr2)print("r1:", r1)print("r2:", r2)# r1的latexprint("="*20)print("expr1-latex:", latex(expr1))print("r1-latex:", latex(r1))# r2的latexprint("="*20)print("expr2-latex:", latex(expr2))print("r2-latex:", latex(r2)) （３）输出：
\(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\) --> \(1\)
\(\sin^{4}{\left (x \right )} - 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos^{4}{\left (x \right )}\) --> \(\frac{\cos{\left (4 x \right )}}{2} + \frac{1}{2}\)
2.三角形的展开-expand_trig()
（１）说明：
使用expand_trig()可以展开三角函数，同样反三角函数也可以。
（２）源代码：
from sympy import *x = Symbol('x')y = Symbol('y')expr1 = sin(x+y)expr2 = tan(2*x)# 三角形的展开r1 = expand_trig(expr1)r2 = expand_trig(expr2)print("===========r1==========")print(r1)print(latex(expr1))print(latex(r1))print("===========r2==========")print(r2)print(latex(expr2))print(latex(r2)) （３）输出：
\(\sin{\left (x + y \right )}\) --> \(\sin{\left (x \right )} \cos{\left (y \right )} + \sin{\left (y \right )} \cos{\left (x \right )}\)
\(\tan{\left (2 x \right )}\) --> \(\frac{2 \tan{\left (x \right )}}{- \tan^{2}{\left (x \right )} + 1}\)
（三）指数函数的简化
1.指数的合并一-powsimp()
（１）说明：
powsimp()主要用于同底数或者同指数
（２）源代码：
from sympy import *# 假设 x与y 是正值， a 是真实的值x = Symbol('x', positive=True)y = Symbol('y', positive=True)a = Symbol('a', real=True)expr1 = x**2*x**3expr2 = x**a*y**a# 进行指数的合并，如果不符合，则不进行简化r1 = powsimp(expr1)r2 = powsimp(expr2)print("===========r1==========")print(r1)print(latex(expr1))print(latex(r1))print("===========r2==========")print(r2)print(latex(expr2))print(latex(r2)) （３）输出：
\(x^2x^3\) --> \(x^5\)
\(x^ay^b\) --> \(\left(x y\right)^{a}\)
2.指数的合并二-powdenest()
（１）说明：
powdenest()主要用于只有一个底数的不同指数。
（２）源代码：
from sympy import *# 假设 x与y 是正值， a 是真实的值x = Symbol('x', positive=True)y = Symbol('y', positive=True)a = Symbol('a', real=True)b = Symbol('b', real=True)expr1 = (x**a)**bexpr2 = (((x**2)**a)**b)# 进行指数的合并，如果不符合，则不进行简化r1 = powdenest(expr1)r2 = powdenest(expr2)print("===========r1==========")print(r1)print(latex(expr1))print(latex(r1))print("===========r2==========")print(r2)print(latex(expr2))print(latex(r2)) （３）输出：
\((x^a)^b\) --> \(x^{ab}\)
\({ {x^2}^a}^b\) --> \(x^{2ab}\)
3.指数的展开：-expand_power_exp\expand_power_base
（１）说明：
- expand_power_exp()用于同底数的展开
- expand_power_base()用于同指数的展开
（２）源代码：
from sympy import *# 假设 x与y 是正值， a 是真实的值x = Symbol('x', positive=True)y = Symbol('y', positive=True)a = Symbol('a', real=True)b = Symbol('b', real=True)expr1 = x**(a+b)expr2 = (x*y)**a# 进行指数的展开# 底数相同展开r1 = expand_power_exp(expr1)# 指数相同展开r2 = expand_power_base(expr2)print("===========r1==========")print(r1)print(latex(expr1))print(latex(r1))print("===========r2==========")print(r2)print(latex(expr2))print(latex(r2)) （３）输出：
\(x^{a+b}\) --> \(x^{a} x^{b}\)
\(\left(x y\right)^{a}\) --> \(x^{a} y^{a}\)
（四）对数函数的简化
1.对数的简化-logcombine()
（１）说明：
logcombine()用于合并对数。
（２）源代码：
from sympy import *# 假设 x与y 是正值， a 是真实的值x = Symbol('x', positive=True)y = Symbol('y', positive=True)n = Symbol('n', real=True)expr1 = log(x) + log(y)expr2 = log(x) - log(y)expr3 = n*log(x)# 对于对数的展开r1 = logcombine(expr1)r2 = logcombine(expr2)r3 = logcombine(expr3)print(r1)print(r2)print(r3) （３）输出：
\(log(x) + log(y)\) --> \(log(xy)\)
\(log(x)-log(y)\) --> \(\log(xy)\)
\(n\log(x)\) --> \(log(x^n)\)
2.对数的展开-expand_log（）
（１）说明：
expand_log（）用于对数的展开。
（２）源代码：
from sympy import *# 假设 x与y 是正值， a 是真实的值x = Symbol('x', positive=True)y = Symbol('y', positive=True)n = Symbol('n', real=True)expr1 = log(x*y)expr2 = log(x/y)expr3 = log(x**n)# 对于对数的展开r1 = expand_log(expr1)r2 = expand_log(expr2)r3 = expand_log(expr3)print(r1)print(r2)print(r3) （３）输出：
\(log(xy)\) --> \(log(x)+log(y)\)
\(log(x/y)\) --> \(log(x)-\log(y)\)
\(log(x^n)\) --> \(n\log(x)\)
（五）其他函数的简化
１.阶乘与排列组合-factorial()\binomial()
（１）说明：
- factorial()用于求阶乘
- binomial()用于求排列组合
（２）源代码：
from sympy import *n = Symbol("n")# 求阶乘r1 = factorial(3)r2 = factorial(n)print(r1)print(r2)# 排列组合print(binomial(4, 2)) （３）输出：
